zanimljiva matematika

[kurdi]

pardon, sad vidim da rec "deo" koristim(o) i kao bezdimenzioni faktor i kao podskup (ovde sa dimenzijom duzine), sto moze da zvuci zbunjujuce.1/n je deo visine kupe koji je pod vodom u smislu da je 100/n % pod vodom.H/n je visina (dela) kupe koja je pod vodom.znaci recimo ako je n=2 to znaci da je pola kupe (gledano po visini, ne po zapremini) ispod povrsine, pola iznad.ako je n=1.5 (sto je slucajno otprilike tacno), onda je 2/3 kupe pod vodom, a 1/3 iznad povrsine.

[Ajant23]

^

Rekao si da je navodno za srednju školu iz 1850, pa me intresuje da li si koristio banalne integrale? Malopre sam ga rešio, ali sa njima. Pa, me to zanima...

[kurdi]

jesam. samo polinomske.mislim da ne moze bez.i od njih se tako ocekivalo (znam po nekom hintu koji su im dali ali nije nesto neophodan)

[Ajant23]

jesam. samo polinomske.mislim da ne moze bez.i od njih se tako ocekivalo (znam po nekom hintu koji su im dali ali nije nesto neophodan)

Da, upravo te banalne :) I, meni se nešto činilo da ne ide bez njih, ali da pitam...

[Ajant23]

Evo rešenja:

Instalirao sam MathType, pa malo probam kako izgleda... :DU drugom slučaju, sila potiska koja je jednaka masi istisnute vode vrši usporenje sa g (u trenutku kada se teg stavi) do 0. Tako da je formula: srednja sila podeljena s M je jednaka g. Tako se dobija jednakost pod 1).U prvom slučaju ravnoteža čini da težina istisnute vode bude jednaka težini kupe. To je formula pod 2).U oba slučaja je u pitanju gustina vode, a S je površina baze kupe. Ali, to se potire i nije bitno.Kada se sve sredi, dobiju se sledeće jednakosti pod 1) i 2):I, kada se izjednače strane, odmah se dobije:

[kurdi]

ok, ovo tvoje su jos jednostavniji integrali :)

ja sam napisao newtna 2ma = 2mg - f(x)gde ovo f zavisi kubicno od x, a u startu je prosto jednako 1mg.kad se ova jednacina jednom integrali po vremenu pretvara se u zakon odrzanja energije, s kinetickom s leve strane.tu je moje resenje matematoicki teze od tvog jer nije svakom ocigledno kako integraliti ubrzanje s leve i polozaj s desne.ovo je standardan trik da se obe strane pomnoze briznom pa s leve dobijes izvod v^2 a s desne su sve clanovi tipa x^n.taj hint im je bio dat, kako da napisu drugi izvod x po vremenu kao prvi izvod v^2 po x, prakticno chain rule.al kad imamo jednacinu onda prosto znamo kada je kineticka energija nula pa to zamenimo, tu s edalje svodina isto.

Edited July 18, 2009 by kurdi

[Lucia]

lucia, cini mi se da si zadatak sa jajima shvatila, ali tvoja strategija daje ocekivane i najgore vrednosti ~ n, sto je mnogo gore od ~ \sqrt(n).

Ipak sam samo delimično razumela cilj u zadatku sa jajima. Bilo mi važno da što pre razbijem prvo jaje!? Ako mi je sada jasno, cilj je da ukupan broj bacanja oba jajeta bude skoro isti bez obzira u kom bacanju pukne prvo jaje (odnosno da se ispeglaju odstupanja) i naravno da bude minimalan za dati broj spratova n. Nisam pročitala ostala rešenja, a kako sam sad na formuli gde imam sqrt(8*n) treba mi još malo "gurke". Na primer za zgradu od 100 spratova dobijam da bi maksimalni broj bacanja (bez obzira u kom k-tom bacanju pukne prvo jaje) bio 14. Do 10 ima još ali bez novog hinta ne mogu dalje :)Dakle:

Neka je k redni broj bacanja u kome je puklo prvo jaje, a m(k) je broj spratova u njegovom intervalu (koje ćemo zatim pešaki on najnižeg do najvišeg ići sprat po sprat).Ako želimo uniformnost, tada je m(k+1) = m(k) - 1, jer se izmedju dva susedna spratovska intervala (bloka) time nadoknadjuje ono jedno neuspešno višak bacanje prvog jajeta. Kada se svede na prvi blok spratova:m(k) = m(1) – k + 1 = m1 – k + 1 (ako uprostimo zapis m(1)=m1)Ako je km poslednje moguće k-to bacanje prvog jajeta (tada sigurno puca) za zadatu zgradu, važi:∑ m(k) <= n gde k=1,..,kma u slučaju da je suma manja od n važi da je km takvo da bi sledeći m(km+1) blok preskočio zgradu, tj.:∑ m(k) > n gde k=1,..,km+1Na osnovu prethodne tri nejednačine dobija se:km*(m1 + 1/2) – (km^2) / 2 + nL = n gde je nL > 0km*(m1 + 1/2) – (km^2) / 2 + (m1 - km) - nS = n gde je nS > 1pa je:m1 – km = nS + nL = d gde je d > 1Zamenom m1 = km + d u prvoj jednačini dobijamo polinom:km^2 + km * (2*d + 1) + 2 * (nL - n) = 0odakle sledi:km = ( sqrt( 8*n + (2*d + 1)^2 – 8*nL) - 2*d - 1) / 2Da bismo izračunali kvadratni koren treba nam:8*n + (2*d + 1)^2 – 8*nL =8*n + 4*nL^2 + 4*nS^2 + 8*nL*nS + 2*nS – 6*nL + 1 = N^2Kako je nL >= 0 a nS > 1 čak i za minimalno nS=1 sledi da je razlika N^2 – 8*n uvek pozitivna pa za konkretno n tražimo najbliže celobrojno N.Takodje nam je cilj da nL bude minimalno (tj. da dobijenim parom km i m1 maksimalno blizu pridjemo n) pa pretpostavljajući da može biti nL = 0 nalazimo nS odnosno d = nS + nL.Na osnovu ovih vrednosti računamo km preko formule sa kvadratnim korenom a odatle m1 = km + d. Eventualni nL (ako za zadato n ipak nije 0) dodajemo na poslednji interval.Na primeru za zgradu n = 100:8*n = 800 a prvi najbliži celobrojni kvadrat je 841=29^2.Razlika od 41 i pretpostavka da nL može biti 0 dovodi od polinoma:4*nS^2 + 2*nS – 40 = 0, te je nS = 2,9... zaokruženo: nL = 1, nS = 2, d = 3što zatim daje km = 11 i m1 = 14.Time bi intervali (blokovi spratova) iznosili redom od prvog:14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4+1Poslednjem je dodat nL=1 jer je suma prethodnih 99.Bacanja prvog jajeta bi išla sa spratova:#14, #27, #39, #50, #60, #69, #77, #84, #90, #95 pa redom od #96.Bez obzira iz kog bacanja prvo jaje pukne i prekine ovaj niz, ukupan broj bacanja oba jajeta bi bio u najgorem slučaju 14 (odnosno 15 ako se računa i bacanje sa poslednjeg sprata).Sad sam sigurno bliže rešenju, ako kriterijum zadatka opet nije složeniji nego što ga tumačim?

A u vezi kupe nije mi jasan opis njenog kretanja odnosno šta znači „okrene se i krene nagore“.

Da li to znači da kupa izranja vrhom na gore? Odnosno da ne tone vrhom na dole već stalno skreće? U tom slučaju položaj tega ne bi bio pravo na osi nego bi i pri kretanju naniže dovodio do skretanja vrha kupe zbog sprega sile teže i sile potiska? Da bi se smer kretanja promenio potrebno je da teg nestane/spadne sa kupe. Takodje bi tada pod nagibom trebalo da teg spadne i tako omogući sili potiska da pokrene kupu naviše. Kako kupa treba da je tada potpuno pod vodom (znači i tegu suprotni deo osnove) to znači da je i teg potpuno pod vodom? Njegova zapremina je zanemarljiva prema zapremini vode te stoga zanemarujemo novu silu potiska za teg?

Ako možeš pojašnjenje zadatka u vezi ovog kretanja kupe i tega, pls. Imate jednog slučajnog prolaznika na pdf-u koji moli za strpljenje

Edited July 20, 2009 by Lucia

[kurdi]

Ipak sam samo delimično razumela cilj u zadatku sa jajima. Bilo mi važno da što pre razbijem prvo jaje!? Ako mi je sada jasno, cilj je da ukupan broj bacanja oba jajeta bude skoro isti bez obzira u kom bacanju pukne prvo jaje (odnosno da se ispeglaju odstupanja) i naravno da bude minimalan za dati broj spratova n.

zadatak samo trazi da je ukupan broj bacanja oba jajeta minimalan.to da u svakom slucaju bude skoro isti se ne trazi u zadatku, ali moze biti deo resenja (ako je skoro uvek slican to i bez da znamo resenje zvuci kao da bi moglo biti dobro za minimiziranje najgoreg slucaja.)za dva jajeta broj bacanja u najboljoj strategiji nije uvek isti ali jeste tacno da raspodela nije bas uniformna od najsrecnjijeg do najnestecnijeg slucaja (dok u nekim losijim strategijama jeste).za veliki broj jaja (generalizacija zadatka) se zaista ispostavlja da minimum, maksimum i ocekivana vrednost ukupnog broja bacanja teze istoj vrednosti.

Nisam pročitala ostala rešenja, a kako sam sad na formuli gde imam sqrt(8*n) treba mi još malo "gurke". Na primer za zgradu od 100 spratova dobijam da bi maksimalni broj bacanja (bez obzira u kom k-tom bacanju pukne prvo jaje) bio 14. Do 10 ima još ali bez novog hinta ne mogu dalje :)

sad sam ja zbunjen.. nemam sad vremena da pazljivo procitam tvoje resenje ali \sqrt(8*100) nije 14.a 14, tj \sqrt(2N) jeste najbolje moguce resenje (za maksimalan broj bacanja)

A u vezi kupe nije mi jasan opis njenog kretanja odnosno šta znači „okrene se i krene nagore“.Ako možeš pojašnjenje zadatka u vezi ovog kretanja kupe i tega, pls. Imate jednog slučajnog prolaznika na pdf-u koji moli za strpljenje

uvek je vrhom na dole, sva kretanja su samo pravolinijska."okrene se i krene na gore" samo znaci da promeni smer kretanja, izvini zbog nepreciznosti jezika.pre nego sto stavimo teg tezina (mg) i sila potiska su jednake.kad stavimo teg tezina (2mg) je veca od sile potiska pa sve krene na dole...sila potiska se onda povecava i u nekom trenutku postane jednaka 2mg...ali posto do tog ravnoteznog polozaja (koji odgovara vecem od inicijlanog, ali ne potpunom potonucu kupe) stigne sa nekom konacnom briznom, presisa ga i nastavi dalje na dole...onda sila pitiska postaje (sve vise) veca od 2mg i usporava kupu, dok je ne zaustavi... pa onda opet sve krene na gore... i opet promasi ravnotezni polozaj i ako/posto nema trenja vrati se sve do polaznog... i tako nastavlja da osciluje izmedju dva ekstrema (dok se u praksi ne smiri u ravnoteznom polozaju usled trenja)ono sto je dato je da se kupa na putu na dole zaustavi tacno kada je cela potonula, a teg je u tom trenutku odmah iznad povrsine vode.

[Lucia]

sad sam ja zbunjen.. nemam sad vremena da pazljivo procitam tvoje resenje ali \sqrt(8*100) nije 14.a 14, tj \sqrt(2N) jeste najbolje moguce resenje (za maksimalan broj bacanja)

Nisam mislila baš bukvalno = sqrt(8*n) već na 8*n koje se nadje pod kvadratnim korenom (u zbiru) koji se zatim deli sa dva (u grubljoj aproksimaciji to je sqrt(2*n)) u formuli za maksimalni broj bacanja prvog jajeta (km):km = ( sqrt( 8*n + (2*d + 1)^2 – 8*nL) - 2*d - 1) / 2Pogledaj objašnjenje u spojleru ali bi se zanemarivanjem svelo na:km = sqrt( 2*n + d^2 + d ) - d, gde se d računa iz razlike od 2*n do kvadrata prvog celog broja.Tako je m1 broj spratova u prvom intervalu (tj. broj sprata sa koga počinje bacanje prvog jajeta):m1 = sqrt(2*n + d^2 + d)Za n=100 izašlo bi d=4, km=11 i m1=15, dok su bez "grubosti usled zanemarivanja" (vidi spojler) rezultati: d=3, km=11 i m1=14. Tako bi maksimalni ukupan broj bacanja u ovom primeru bio 14, osim ako ne stignemo do samog kraja da bacamo prvo jaje sa poslednjeh sprata #100. Tada bi to bilo 15-to bacanje po redu. Ovo stoga što nL nije idealno = 0, za slučaj n=100. Ali ako se ne plati ovde (a taj slučaj je najmanje verovatan) tih +1 platilo bi se negde drugde. Drugim rečima, šta se može što su spratovi celi brojevi :)edit: Hvala za pojašnjenje za kupu. Bilo je i previše detaljno, znam kako sile deluju :) Samo sam se uplašili da je zadatak mnogo komplikovaniji zbog tog okretanja! A još kad sam čula "oscilacije" ne moram da smišljam kako da se rešim tega :D Edited July 20, 2009 by Lucia

[Lucia]

Kupa i teg:

Dok kupa miruje uravnotežene su sila gravitacije i sila potiska:M*g = V1 * gv * g, gde je gv gustina vode a V1 zapremina kupe pod vodom:V1 = r^2 * pi * H / (3*n^3)Stavljanjem tega unosi se potencijalna energija u sistem. Razlika potencijalne energije tega od početnog položaja na visini H * (n – 1)/n do 0 (u odnosu na visinu vode) iznosi:M * g * H * (n – 1)/na utrošena je na rad protiv dela sile potiska (jer trenje zanemarujemo):∫ F(x) dx gde x ide od 0 do H*(n – 1)/nF(x) = (Vx – V1) * gv * ggde je Vx ukupna zapremina kupe pod vodom kada je kupa potonula za x:Vx = rx ^2 * pi * Hx / 3 = ( rx / Hx )^2 * pi * Hx ^3 / 3Kako je rx / Hx = r / H i Hx = (x + H/n) prethodno se svodi na:Vx = V1 * (H + x * n)^3 / H^3F(x) = M * g * [3*(x*n/H) + 3(x*n/H)^2 + (x*n/H)^3] Kada izračunamo integral i izjednačimo ga sa razlikom potencijalne energije dobijamo:3 * H * (n – 1)^2 / (2 * n) + H * (n – 1)^3 / (2 * n) + H * (n – 1)^4 / (4 * n) = H * (n – 1) /n što posle sredjivanja daje:n^3 + n^2 + n = 7

Edited July 21, 2009 by Lucia

[kurdi]

jeste, i tvoje i ajantovo resenje sa samo energiama/radom je bolje od mog koje pocinje kinematicki utoliko sto je realnije da srednjoskolci znaju te integrale.najkrace sto sve moze da se zapise (za internet potrebe) je reci na pocetku da ako je deo visine pod vodom Hx, onda je deo zapremine pod vodom Vx^3. i x ide od 1/n do 1.onda je sila potiska mg*n^3*x^3 (mora biti proporcionalna x^3 i za x=1/n jednaka mg)pa je prostim integralom sa samo jednm clanom rad sile potiska prosto mg*n^3*(H/4)*(1 - 1/n^4)dok je rad gravitacije 2mgH*(1 - 1/n)kad se izjednace ova dva i obe strane pomnoze sa n dobije sen^4 - 1 = 8(n-1)jedin problem ovog resenja je sto sad treba znati da je n^4 - 1 = (n-1)(n^3 + n^2 + n +1), pa se n-1 skrati.ali i ko ne zna to moze da krene od n^4 -1 = (n^2 - 1)(n^2 +1) = (n-1)(n+1)(n^2 + 1) = trazeno.

Edited July 21, 2009 by kurdi

[kurdi]

jedno lako, cisto da bude nesto.pet parova stize na veceru i neki se rukuju, neki ne, al niko se naravno ne rukuje s onim s kojim je dosao.posto su seli mr. smith pita sve za stolom s kolko su se ljudi rukovali, i od svakoga dobije drugaciji odgovor.s kolko ljudi se rukovala mrs. smith?

[Ajant23]

Baš mi i nije jasno, ali 8?

[kurdi]

ne.a cini mi se kad resis znaces da si resio.osim ako mislis da ti nesto u postavci nije jasno?

[Ajant23]

Pa, nije mi u postavci jasno, ali to je ipak moj problem.Shvatio sam su Smithovi jedan od pet parova i da se svaka osoba rukuje sa kim hoće, nevezano od toga sa kim se rukuje njen par...EDIT: Ali, to je nemogući scenario...

Edited November 10, 2009 by Ajant23