zanimljiva matematika

[kurdi]

cini mi se da je (n-1)*(m-1), al nemam dokaz.

ok, dokazao sam, mada nije bas kratko.evo u spojleru:

PRVI DEOaj prvo da dokazemo da (n-1)(m-1) radi.u ranijem spojleru sam pokazao da brojevi a*m gde je m<n i a ide od 0 do n-1 daju razlicite ostatke pri deljenju sa n.znaci da za svaki ostatak 0 < n-x < n, gde je 0 < x < n, postoje neko a i neko b za koje vazi:a*m = b*n + (n-x)gde je 0 < a < n i b >= 0(n-1 razlicitih vrednosti a daju n-1 razlicitih vrednosti x, mada ne znamo koja daje koju, niti koja im tacno nenegativna vrednost b odgovara) jednostavnim rearanziranjem imamo:x = b*n + n - a*m sad obema stranama dodamo mn - m - n, i dobijemo:mn - m - n + x = mn - m - n + b*n + n - a*militi opet jednostavnim rearanziranjem:(m-1)(n-1) + (x-1) = (n - 1 - a)m + b*npri cemu svakom 0 < x < n odgovara neko 0 < a < n i neko b >= 0. poanta je da su oba koeficijenta, (n-1-a) i b, veca ili jednaka nuli, tako da za svako 0 < x < n postoji resenje bez kusura.x=1 odgovara minimumu (m-1)(n-1), a dokazali smo i za sve sledece cene sve do cene (m-1)(n-1) + (n-2), koja se dobija za maksimalno x = n-1.e sad posto je m <= (n-1), doazali smo sigurno za sve vrednosti x od 1 do m.sto ce reci dokazali smo za svih m cena od (m-1)(n-1) do (m-1)(n-1) + (m-1).ovo je dovoljno, posto sve ostale mozemo da generismeo prostim dodavanjem umnozaka m.DRUGI DEOmada ovaj dokaz ne radi za (m-1)(n-1) - 1 = mn - m - n, to ne dokazuje da je za tu cenu nemoguce naci nenegativne a i b tako da je a*m + b*n = mn - m - ndaklem da dokazemo da je to zaista nemoguce.pretpostavimo da je moguce, tj da postoje takvi a, b >= 0.onda bi bilo (rearanziranjem gornjeg izraza tako da je sve uz m na jenoj strani, sve uz n na drugoj)m(n-a-1) = (b+1)n (*)posto su m i n uzajamno prosti, n-a-1 bi moralo biti deljivo sa n, tj (a + 1) bi moralo biti deljivo sa n.da pretpostavimo a+1 = knpri cemu sada mora biti k>0 jer je pretpostavka da je a>=0.ako ovo prosto vratimo u jednacinu (*) dobijamo:(1-k)mn = (b+1)ntj(1-k)m = (b+1)posto je k >=0 leva strana je <= 0, pa je b < 0sto rusi polaznu pretpostavku da je b>=0 (i.e. da moze bez kusura).slicno naravno kod jednacine (*) mozemo pretpostaviti da je b+1 = km, pa bi dobili da je a <= 0.u svakom slucaju ne mogu i a i b biti nenegativni.

edit: po drugi put mis edesava kakda kcam neku matematiku u spojleru da editor misli da stavljam neke urlove i sve mi sjebe, pola proguta itd. popizdecu. sad opet moram da editujem.

Edited September 10, 2008 by kurdi

[MayDay]

Prvi put sam zašao na ovaj topik, mada teško da je to bio moj arsenal. Pre davna, davna prošlost. Kada sam se nekad susreo sa tom teoremom, drug mi je rekao da ju je rešio na času. Ja razmišljao par dana i gledam sebe kao budalu što je ne reših. Onda mi on kaže da je prvo znao tu lemu, to je bilo neukusno. Kakav crni arsenal. Nego sam eto oslušnuo kurdia bolje nego tebe. Vidim zanimljiva matematika, a i ono kud ćeš bez kusura.Kako bilo. Evo jedno rogobatno rešenje, da barem ostanem veran što sam se mešao.

Dobro dosao ovde i nemoj da bezis! Sacu ja da nam obezbedim neke interesantne zadatke i to kad budemo imali najvise posla, a najmanje vremena.

[MayDay]

Sanse su 50-50 da kraljica nosi gen hemofilije (koja ima simptom odlozenog zgrusavanja krvi). Ako je nosilac, onda svaki princ ima 50-50 sansu da oboli od hemofilije. Ako je kraljica rodila 3 sina bez hemofilije, koja je verovatnoca da je ona nosilac? Ako bude rodila 4. princa koja je verovatnoca da ce on imati tu bolest?Evo ovo iz domaceg:1. King comes from a family of 2 children. What is the probability that the other child is his sister? 2. A couple has 2 children. What is the probability that both are girls if the eldest is a girl?Opinion needed!!!Ovo prvo bi moglo da zazvuci kao da je verovatnoca 1, jer 'his sister' mi skroz zvuci kao postojeca osoba. Pa kao, kad je on jedno, ta sestra je drugo dete. A mozda je i pitanje samo koja je verovatnoca da je zensko dete...

[kurdi]

A mozda je i pitanje samo koja je verovatnoca da je zensko dete...

ma sigurno, ako hoces manje ambivalentno - what is the probability that the other child is a sister to him?tako da je odgovor 2/3.u drugom slucaju naravno 1/2.ono sa hemofilijom je 1/9 i 1/18.

[MayDay]

jeste, jestema, sve nam zadaje neke pravolinijske. ali zato ce mid term biti take home exam, tako da...jedva cekam!

Edited September 15, 2008 by MayDay

[MayDay]

evo stiglo mi na mejl profesorovo resenje paradoksa sa kovertama. Overall, the solution to this paradox is the following: we have to specify the mechanism by which the check values are generated. After that, we have to compute the conditional probability that the second envelope has a bigger amount. This conditional (posterior) probability depends upon the amount in the envelope that we open. Thus, although I have 50-50 chances of selecting a particular envelope out of the two, after seeing the check value I have to update the probability that the second envelope has a bigger value. Consider the following example: Suppose that the value X is either $1 or $2, with equal probabilities. Thus the envelopes contain either $1 and $2, or $2 and $4, both events with equal probabilities. When I open the first envelope, there are 3 possibilities: I see $1, $2, or $4. 1) If I see $1, I know for sure that the value of X is $1, and thus the second envelope contains $2 for sure, so I have to switch.2) If I see $2, the value of X can be either $1 or $2, with equal probabilities. I have to switch, since the expected value from switching is ($1+$4)/2=2.5.3) If I see $4, the value of X is $2 for sure, so the second envelope contains $2 for sure, and I do not want to switch.The point is that, depending upon the value in the first envelope, I decide whether to switch or not (I switch if this value is $1 or $2, and I don?t switch if this value is $4). Now, let us calculate the benefits of switching before I open the first envelope. It contains $1 with probability 0.25, $2 with probability 0.5, and $4 with probability 0.25. If I don?t switch, my expected gain is $1*0.25+$2*0.5+$4*0.25=$2.25. If I switch for any value that is in the first envelope, the expected gain is $2*0.25+$2.5*0.5+$2*0.25=$2.25 (if the first envelope contains $1 and I switch I get $2, if it contains $2 and I switch I get $2.5, and if it contains $4 and I switch I get $2). In this example all probabilities are explicitly calculated, and we can see that the paradox is based on a wrong assumption that the value of the first check does not influence on the probability of the second check being higher or lower.

Edited October 30, 2008 by MayDay

[kurdi]

mozda si zaboravila da mu napomenes da je poanta upravo to da mi a priori ne znamo nista o raspodeli X?ako znamo (sto on iz nekog razloga u prvoj recenici pretpostavlja) onda naravno da je trivijalno, otvaranje prve koverte utice na ocekivanu vrednost druge, i nije ni vredno ispisivanja. osim algebre, svaki takav zadatak se svodi prosto na zadatak u kojem je X unapred poznato. "u jednoj koverti dinar, u drugoj dva, kad otvoris jednu i vidis sta je unutra, dal bi se menjao?" - ovo ocigledno nije izazov.ali nije paradoks u tome sto postavljac nije znao elementarnu algebru.u originalnom zadatku ti je receno samo "u jednoj je dva puta vise nego u drugoj". to je sve sto znas.mislim bilo kakvu formalnu matematiku na stranu, mozemo lako zamisliti da se prosto nadjemo u takvoj sitiaciji.i kada otvoris prvu kovertu i vidis (recimo) $4 mozes samo da pretpostavis da je X = 2 ili 4, a ne da misteriozno zakljucis da je X sigurno 2.i obzirom na date informacije svi brojevi su podjednakoneinformativni te odgovor svakako ne moze biti da odluka o menjanju zavisi od onoga sto nadjes u prvoj koverti (sto bi bio slucaj za bilo koji dati prior, dokle god je dat, ali nije; i naravno ti u kockarskoj praksi mozes da odlucis da u proceni svoje srece verujes u neki konkretni prior, ali to je nesto sto ti dodajes i gde svako moze doneti drugaciju odluku, a ne sto je dato. i u tom slucaju zakljucak ne zaviis smao od onoga sto je u koverti nego i od onoga sto ti konkretno nicim opravdano odabrala za prior na koji se kladis. i nije to zadatak. nema svrhe reci "we have to specify..." kad to prosto u zadatku nije slucaj, i u tome i jeste koren paradoksa).s druge strane odgovor ocigledno ne moze biti ni apsurdni zakljucak da se uvek treba menjati (gde je problem to sto ne postoji ni jedan prihvatljiv/normalazibilan prior koji formalno reprodukuje taj zakljucak u racunu koji se obicno podmece u postavci paradoksa) Edited October 30, 2008 by kurdi

[MayDay]

to je stiglo sinoc dok sam pisala neki smrdljivi paper koji mi vise nije interesantan. nisam ni procitala, samo sam okacila. samo nesto da zavrsim pa cu da iscitam.

[MayDay]

hm, paradoks je ne samo u tome sto ispada da se uvek treba menjati za drugu kovertu, nego sto treba menjati koverte beskonacno mnogo puta, back and forth...i svaki put povecavas ocekivani dobitak za 25%.naravno da sam napomenula da ne znam nista o raspodeli X. i ja stvarno ne razumem odakle mu ideja da pinuje $1 i $2. ovde najvise sto smes da uradis je da krenes od jednog konkretnog broja i zavrsices u paradoksu. pazi, on uzima i u slucaju neotvaranja koverte da ce se menjati ako je unutra 1 ili 2. to je vec glupa konstrukcija.

[Quizmaster]

Drage matemate™, možda je nekom od vas promaklo obaveštenje u rubrici Sudoku, pa samo da ponovim...Na sajtu Saveza zagonetača Srbije objavljena je pdf knjižica sa primerima zadataka koji će biti na šampionatu Srbije u rešavanju sudokua.Takmičenje se održava 24. januara 2009. na Matematičkom fakultetu u Beogradu, sa početkom u 10 časova. Prijavljivanje je najkasnije do 16. januara, a OVDE je objašnjena procedura.Zadatke priprema naš najbolji rešavač i sastavljač logičkih problema, Nikola Živanović iz Sombora (petoplasirani sa svetskog sudoku šampionata 2007. u Češkoj). Ako zaista volite da rešavate sudoku, bila bi šteta da ne dođete na šampionat Srbije.

Edited January 11, 2009 by Quizmaster

[MayDay]

obavezno pogledati!http://www.eskimo.com/~miyaguch/titan.html

[kurdi]

cetiri puza se krecu u istoj ravni konstantnim (ali razlicitim) brzinama.nijedne dve putanje nisu paralene, tako da se sve presecaju, dajuci ukupno 6 preseka."susret" dva puza znaci da se nadju u preseku njihovih putanja u istom trenutku, u kom slucaju prosto prodju jedan kroz drugog i nastave dalje.pitanje je: ako se pet susreta vec desilo da li ce se desiti i sesti?(za svaki slucaj - krecu svi negde iz minus beskonacnosti, u smislu da nijedan nije vec u startu propustio presek sa putanjom nijednog od ostala tri puza, samo je pitanje da li ce se na tim presecima naci u istim trenucima kada i puzevi sa cijim se putanjama srece.)

[MayDay]

samo sam skicirala, jer moram da zurim na cas... samo mi reci, jel ima neke veze sa slicnoscu trouglova?

[kurdi]

ja sam tako resio.mislim moje resenje ima veze sa slicnoscu trouglova.posle mi je student koji mi je postavio zadatak rekao njegovo lepse resenje za koje nije potreban papir.

[MayDay]

osecam da se to kratko resenje poziva na neki koncept koji je meni nepoznat. <_< mada, ja i tako uvek nalazim najseljackija resenja.nisam jos napisala formalno resenje, ali do jaja mi je sto ne vazi logika za slucaj sa 3 puza gde su se desila 2 susreta.