zanimljiva matematika

[Kudravi Gaucos]

1) Ako menjas kovertu, procentualno je jednaka razlika, ali ima jedna stvar - vise se dobija nego sto se gubi. Sa 100 din u tvojoj koverti dobijas 100, a gubis 50 ako se menjas. Jedino ako mozes ponavljati menjanje u beskonacnost - onda je svejedno jer se uvek postavlja isto pitanje. Naravno, istu situaciju si imao i prilikom izvlacenja koverte, tako da je menjanje besmisleno.2) Cini mi se da ovde ima mnogo potkovanijih matematicara od mene, ali ne mogu bas da prihvatim da je verovatnoca pojavljivanja 7 veca od pojavljivanja autobusa br. 3.Slazem se da su verovatnoce za 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 vece od verovatnoce pojavljivanja bilo kog veceg broja (zato sto N moze biti 7 sto smanjuje mogucnost vecih brojeva na 0), ali kako sam broj 7 ima prednost u odnosu na manje - to mi nije jasno.Ako je N == 7, sansa za brojeve 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 je 1/7;Ako je N == 8, sansa za brojeve 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 je 1/8;Ako je N == 9, sansa za brojeve 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 je 1/9;Ako je N == Nx (Nx ne moze stvarno da tezi beskonacno, ali je mnogo - ipak je ovo praktican problem) sanse za sve brojeve manje od Nx su 1/Nx;Zar se iz ovoga ne vidi da su sanse za sve brojeve manje od 7 jednake, bez obzira na ukupan broj autobusa?

[Delija67]

Ti si u pravu da su verovatnoca pojavljivanja 7 i verovatnoca pojavljivanja 3 jednake, ali mi trazimo koliko je N ako nam je poznato da se pojavilo 7.Sam si napisao da je u slucaju N=7 verovatnoca pojavljivanja 7 1/7. Da je izaslo 3 najverovatnije N bi bilo 3 zato sto je verovatnoca dogadjaja koji se dogodio 1/3 i veca je nego za bilo koje vece N. 1>1/2>1/3>1/4>1/5>1/6>1/7>1/8...

[Kudravi Gaucos]

Pa da, opet sam ja ispao slepac... Nisam ni procitao zadatak k`o covek.

[MayDay]

jos jednom da opravdam svoj prior...

nalazite se u nepoznatom vam gradu u kojem znate da postoje sve autobuske linije obelezene brojevima od 1 do N (sa istim brojem autobusa na svakoj liniji), ali ne znate koliko je N.setate se ulicom i prvi autobus koji ugledate je 7-ica.na osnovu samo ovih informacija, sta je najverovatniji broj autobuskih linija u tom gradu?

Dakle, ovo je sasvim dovoljna informacija da pretpostavim da je N uniformno rasporedjeno. Hocu reci, nije da BAS nista ne znam o tom broju.U definisanju raspodele neke slucajne promenljive moramo poci od njenih karakteristika kao sto je 'jednak broj autobusa na svakoj linija' u ovom slucaju.Kada su u pitanju akcije, slazem se sa celom pricom o redu velicina, osim sto logovi cena akcija nisu uniformno vec normalno rasporedjeni. Doduse, ovo je pre empirijska nego teorijska pretpostavka..Dinamika cene akcije se najcesce modelira kao geometrijsko Braunovsko kretanje, ali to je sad vec van zanimljive matematike..Evo jednog jako interesantnog zadatka:Avion ima 100 mesta i prodato je svih 100 karata. Mesta su numerisana. Prvi putnik ulazi i seda na slucajan nacin na neko od 100 mesta, koje moze i ne mora biti njegovo. Sledeci putnik ce sesti na svoje mesto, osim ukoliko prvi putnik nije seo njegovo mesto. U tom slucaju i on seda na slucano odabrano mesto. Svaki sledeci putnik se ponasa po istom principu kao drugi putnik. Koja je verovatnoca da ce 100. putnik sesti na svoje mesto.

[kurdi]

jos jednom da opravdam svoj prior...Dakle, ovo je sasvim dovoljna informacija da pretpostavim da je N uniformno rasporedjeno. Hocu reci, nije da BAS nista ne znam o tom broju.U definisanju raspodele neke slucajne promenljive moramo poci od njenih karakteristika kao sto je 'jednak broj autobusa na svakoj linija' u ovom slucaju.

sad mi vec deluje da se nesto osnovno oko jezika nismo razumeli...ovo sa brojem autobusa po liniji (vozila koja saobracaju duz iste rute) nije nikakva informacija o broju linija (razlicitih ruta) N.broj autobusa po liniji je isti samo da se ne bi komplikovalo, moze da se kaze i da je 1.znaci ima N autobuskih linija, i na svakoj liniji operise po isti broj autobuskih vozila M.N i M su potpuno nezavisni brojevi.M (posto je konstantno) ne utice ni na sta, a o N iz toga sto je M konstantno ne saznajemo BAS nista.'jednak broj autobusa na svakoj linija' nije karakteristika broja linija, kao sto "svaki hujin radijator ima 13 rebara" nije karakteristika broja radijatora u hujinoj kuci (sam bog zna koliko ih je...). za akcije verovatno jeste normalno, to jest u svakom slucaju nesto sto rusi translatornu simetriju na logaritamskoj skali, posto neku ulogu igraju zdrav razum i monetarna realnost - nema kompanije od 10 dolara ili 10 triliona dolara, niti iko svoju kompaniju deli na samo 3 akcije ili na 3 triliona akcija - tako da postoji par tipicnih redova velicina vrednosti akcije. ali dokle god je raspodela primetno sira od jedne dekade to verovtno ne utice previse na distribuciju prvih cifara. kod (numerickih vrednosti u standardnim jedinicam) fizickih konstanti je raspon vise desetina dekada.

[kurdi]

Evo jednog jako interesantnog zadatka:Avion ima 100 mesta i prodato je svih 100 karata. Mesta su numerisana. Prvi putnik ulazi i seda na slucajan nacin na neko od 100 mesta, koje moze i ne mora biti njegovo. Sledeci putnik ce sesti na svoje mesto, osim ukoliko prvi putnik nije seo njegovo mesto. U tom slucaju i on seda na slucano odabrano mesto. Svaki sledeci putnik se ponasa po istom principu kao drugi putnik. Koja je verovatnoca da ce 100. putnik sesti na svoje mesto.

jebote kako je ovo genijalno, slatko sam se namucio 1/2, il ce da sedne il nece da sedne na svoje mesto edit: necu za sada da objasnjavam, posto cini mi se drugima moze biti zanimljivo da resavaju i kada vec znaju ovaj (makar meni) inicijalno iznenadjujuci odgovor.i ja sam nasao rezultat pre nego sto sam nasao elegentan dokaz.jedino sto sam rezultat otkriva je da ocigledno ne zavisi od broja putnika. Edited January 15, 2008 by kurdi

[MayDay]

sad mi vec deluje da se nesto osnovno oko jezika nismo razumeli...ovo sa brojem autobusa po liniji (vozila koja saobracaju duz iste rute) nije nikakva informacija o broju linija (razlicitih ruta) N.broj autobusa po liniji je isti samo da se ne bi komplikovalo, moze da se kaze i da je 1.znaci ima N autobuskih linija, i na svakoj liniji operise po isti broj autobuskih vozila M.N i M su potpuno nezavisni brojevi.M (posto je konstantno) ne utice ni na sta, a o N iz toga sto je M konstantno ne saznajemo BAS nista.'jednak broj autobusa na svakoj linija' nije karakteristika broja linija, kao sto "svaki hujin radijator ima 13 rebara" nije karakteristika broja radijatora u hujinoj kuci (sam bog zna koliko ih je...).

Da...priznajem i korigujem se...i stidim se..Ali nekako mi se i dalje cini da nema razloga da su logaritmi uniformno rasporedjeni, vec nivoi...izgleda da je prior arbitraran..

[kurdi]

Ali nekako mi se i dalje cini da nema razloga da su logaritmi uniformno rasporedjeni, vec nivoi...izgleda da je prior arbitraran..

(ne znam sta su ti nivoi?)pa... ne mogu nista da dokazem, ali meni to deluje kao prirodni minimum knowledge prior, sto bi se narodski reklo no sense of scale... (a postoje mozda i neke fizicke analogije sa poznatim nam univerzumom, ali i to je vise na nivou intuicije).osnovna prednost logaritma je sto je potpuno scale free (sto opet ima neke analogije sa univerzalnim ponasanjem stvarnih fizickih sistema), nemas u pretpostavci ni jedan karaktristican broj, tako da si oslobodjen svih kvantitativnih pretpostavki.(nije bitno ni koja je osnova logaritma, posto to samo menja konstantu u distribuciji koja ionako nije normalizovana)ali ko sto rekoh na pocetku... to je ono oko cega se u diskusiji ni john i ja nismo skroz slozili. slazmo se oko intuicije i da radi sa klasu poznatih definisa(bil)nih problema, ali ne oko generalizacije, koja priznajem jeste donekle neformala ali ja ne vidim sta joj fali niti sta bi bila (bolja) alternativa.mislim ok, nije da ih bas nema... recimo on pita a sto ne log (log(x))? ni tu nema nijednog karakteristicnog broja. ali nema ni meni poznatog u realnosti zasnovanog argumenta za dodatno komplikovanje.nego ovaj tvoj zadatak sa avionom je bre mnogo lep.

[Al-Khwarizmi]

Ovo sa avionima se lepo rešava indukcijom. Neka u avionu ima n sedišta:Za n=2: Sve zavisi od prvog putnika, a on ima izbor od dva sedišta. Dakle:P2 = 1/2Za n=3: Prvi putnik ima šansu od 1/3 da ubode svoje sedište (tada poslednji sigurno seda na svoje), i 1/3 da ubode drugo sedište (kada sve zavisi od drugog putnika koji opet ima izbor od dva sedišta, pa se uslovna verovatnoća svodi na P2):P3 = 1/3 + 1/3*P2 = 1/3 + 1/6 = 1/2 = P2Ovde već naslućuje pravilnost, ali za svaki slučaj možemo da idemo još jedan korak ručno.Za n=4: Prvi putnik ima šansu 1/4 da sedne na svoje mesto, 1/4 da sedne na drugo mesto (pri čemu imamo situaciju kao u slučaju n=3), 1/4 da sedne na treće mesto (pri čemu je situacija kao u slučaju n=2):P4 = 1/4 + 1/4 * P3 + 1/4 * P2 = 1/4 + 2 * 1/4 * P2 = 1/4 + 2 * 1/4 * 1/2 = 1/2 = P2Odavde je indukcija očigledna, i treba još samo obaviti formalan dokaz. Pretpostavimo da su svi P2 do P(n-1) jednaki 1/2. Tada:Pn = 1/n + 1/n * P(n-1) + ... + 1/n * P2 = 1/n + (n-2) * 1/n * P2 = (2 + n - 2) / 2n = 1/2

[kurdi]

stvar ukusa, ali meni je malo lepse ovo, mada i nije mnogo drugacije (ali je moje :D), samo je vise recima, manje sume itd..:prvi ima podjednake sanse (u ovom slucaju 1/100) da zapecati igru pozitivno (ako sedne na svoje mesto) i negativno (ako sedne stotom/poslednjem na mesto).u svim ostalim slucajevima se odluka odlaze do daljnjeg. (u ovom slucaju ostalih slucajeva ima 98 od 100, al nije ni bitno)aj recimo da prvi ne zapecati igru nego sedne na neko nasumicno mesto N.i aj radi lakseg pracenja kazemo nasumicno N=31.svi od drugog do tridestog lepo sedaju na svoja mesta, ali 31-om je mesto zauzeto.on opet ima podjednake sanse da zapecati igru pozitivno (ako popuni mesto prvog) i negativno (ako sedne poslednjem na mesto). u ovom primeru je ta podjednaka verovatnoca konkretno 1/70, al nije bitno.opet u ostalih 68 od 70 slucajeva, odluka se odlaze.recimo da ni on ne zapecati igru nego sedne na mesto recimo 63-eg...opet svi od 32-og do 62-og sedaju na svoja mesta, ali 63-em je mesto zauzeto.opet i on sa podjednakom verovatnocom (1/38, ali....) okoncava igru pozitivno ili negativno, a u ostalim slucajevima (36/38, ali...) se odluka odlaze.poanta je da koliko god bilo tih prilika da se igra zapecati, u trenutku kada se odluka zaista i donosi podjednaka je verovatnoca da odluka bude pozitivna i negativna.edit:inace ja sam krenuo jos pesackije, pa je ovo naknadna pamet.prvo krenuo da racunam eksplicitno verovatnocu za 100 da uspe pa dobio izraz koji mi nije delovalo da je lako sabrati... pa onda reko mozda je lakse naci verovatnocu da ne uspe... pa opet dobio... isti komplikovani izraz :Dpa onda proverio za 3 i 4.pa tek onda trazio kako je zapravo "ocigledno" recima i bez racuna.

Edited January 16, 2008 by kurdi

[MayDay]

Izvini za nivoe, to sam nesvesno napisala tako, jer mi koji se bavimo vremenskim serijama govorimo nivoi vs. logaritmi serije, a mislila na nelogaritmovane vrednosti..uff!!Tvoj prior je prihvatljiv, nemam osnova da ga odbacim, niti da prihvatim bilo koji drugi, ali mi je mnogo manje ocigledan nego u slucaju broja stranice knjige ili kod cene akcija...Opet, kazem, moze i ne mora da bude...Jel' da da je lep zadatak? Jedan moj poznanik ga je dobio pre neki dan na intervjuu za posao u Londonu.

[kurdi]

samo za matematicare:ako imate kocku sa N strana i bacite je K > N-1 puta, kolika je verovatnoca da barem po jednom padne svaka strana?(sad cuo, nisam jos resio)

[Kudravi Gaucos]

samo za matematicare:ako imate kocku sa N strana i bacite je K > N-1 puta, kolika je verovatnoca da barem po jednom padne svaka strana?(sad cuo, nisam jos resio)

Kod kocke je N == 6. <_<

[kurdi]

da, ok, mi bas nemamo razdvojene reci za kocku i kockicu.zamisli onda prosto da se sve desava u N/2-dimenzionalnom prostoru.

[Al-Khwarizmi]

Pa... pretpostavljam da ovo nije ono što si imao na umu, ali ako se dobro sećam rekurzivna formula se takođe smatra matematičkim rešenjem.Dakle, ako sa L označimo broj stranica koje još nisu pale, a sa M preostali broj bacanja, verovatnoća se može izraziti sledećom rekurzivnom formulom: P_L,M = (N-L)/N * P_L,M-1 + L/N * P_L-1,M-1pri čemu važi da je: 1) P_L,M = 0 za L>M 2) P_0,M = 1Rešenje je P_N,K.edit: greškom pisao obrnut uslov (L<M), tek sad primetih

Edited January 21, 2008 by Al-Khwarizmi