zanimljiva matematika

[kurdi]

Ali ne znamo u kojoj je koverti manji iznos, a u kojoj veći, tako da ne možemo tako da računamo. Mislim, ako bi moglo tako, samo obrni problem - istom logikom postavi pitanje "koja je očekivana količina novca u mojoj koverti, u odnosu na onu drugu?" Tako dobijaš suprotan odgovor - da ne treba zameniti.

tacno, zato se i kaze paradoks :Di ja i ti (ako smo podjednako glupi) hocemo da se menjamo, ili ni ja ni ti necemo, zavisno od toga kako postavimo pitanje.naravno da odgovor mora biti da je menanje glupo, nema svrhe oko toga da se raspravljamo. ali standardna teorija verovatnoce ne kaze tako.

Ispravan račun očekivane vrednosti bi bio ovakav: ako kažeš da je m manji iznos, a 2m veći, onda je očekivana vrednost za bilo koju kovertu 0.5*m+0.5*2m = 1.25 m.Onda i nema paradoksa.

ahem... uoci da ovde imas gresku u algebri...ali nije bitno, razum bi prevladao i sa 1.5m.pre nego sto napravis prvi izbor! zato smo ispravno i zakljucili da je svejedno koju kovertu odaberemo.medjutim to je upravo problem/paradoks scale free verovatnoca (a koji razresava kurdijeva hipoteza :D), sto stvari ne izgledaju isto pre i posle prvog izbora (cak i bez otvaranja koverte) i sto previse zavisi od formulacije pitanja.stvar postaje ociglednija/apsurdnija ako kovertu otvoris (i time kolapsiras a priori potpuno nepoznatu skalu) i vidis da u njoj imas 100 dinara. dok je moja koverta i dalje zatvorena.tu ja definitivno imam ili 200 ili 50, sa jednakom verovatnocom, nema vrdanja.

[kurdi]

Prior za broj autobuskih linija je da je ta promenljiva uniformno rasporedjena na intervalu [0,m], odnosno [0, +besk]. Sa pojavljivanjem 7-ice ja apdejtujem svoje verovanje o stvarnom broju linija.Znaci, nasla sam uslovne verovatnoce da postoji n linija pod uslovom da se pojavila 7-ica za svako n=1,...,m. I onda sam nasla n za koje je ta uslovna verovatnoca najveca, a to je upravo 7. Zar ne?

pa to je izgleda tvoja pretpostavka...ali ako o broju ne znas BAS nista, zasto pretpostavljas da je uniformno rasporedjen od jedan do m, gde je m beskonacno... ?ovo "odnosno" je jako opasno.ovo je jako opasan pristup jer nije ocigledno kako se taj limit formalno razresava.verovatno nisam bas jasan...za svako dato m to ima smisla, dok pricamo o tome da li je m 18 ili 23 ili bilo sta konkretno... i ti odlucujes da prvo napises nesto sto ima smisla za neko m, a onda naknadno da uzmes limit m->besk.ovo nije formalno jasna procedura.primera radi...da su potpuno nepoznati brojevi potpuno uniformno rasporedjeni od 0 do beskonacno (ma sta to uopste znacilo) onda bi u onoj prici o brojevima sa berze ili fizickim konstantama svaka prva cifra bila podjednako verovatna.eksperimentalna je cinjenica da to nije tacno.

[kurdi]

Meni ovo rešenje MayDay izgleda ok. Napiši ispred lim[m-> infinity] i to je to.

nisam ovo video, ali iznad vec odgovorih na isto.seti se brojeva sa berze.

[MayDay]

pa to je izgleda tvoja pretpostavka...ali ako o broju ne znas BAS nista, zasto pretpostavljas da je uniformno rasporedjen od jedan do m, gde je m beskonacno... ?ovo "odnosno" je jako opasno.ovo je jako opasan pristup jer nije ocigledno kako se taj limit formalno razresava.verovatno nisam bas jasan...za svako dato m to ima smisla, dok pricamo o tome da li je m 18 ili 23 ili bilo sta konkretno... i ti odlucujes da prvo napises nesto sto ima smisla za neko m, a onda naknadno da uzmes limit m->besk.ovo nije formalno jasna procedura.primera radi...da su potpuno nepoznati brojevi potpuno uniformno rasporedjeni od 0 do beskonacno (ma sta to uopste znacilo) onda bi u onoj prici o brojevima sa berze ili fizickim konstantama svaka prva cifra bila podjednako verovatna.eksperimentalna je cinjenica da to nije tacno.

Mnogo me sad zanima. Zasto sam pretpostavila uniformnu raspodelu? Zato sto se pominje da na svakoj liniji ima jednak broj autobusa.E sad, hajde da napustim konacan slucaj. Kada kazes brojevi sa berze, pretpostavljam da mislis na prinose, za koje se pretpostavlja da su normalno rasporedjeni (-besk, +besk) ili se uzima takodje neka zvonasta raspodela sa tezim repovima koja bi dozvolila neke ekstremnije vrednosti..Nebitno to, prinos na akciju ima slucajan hod i cena akcije takodje, ali ne mislim da je ista verovatnoca da ce cena skociti za izmedju 1 i 2%, s jedne strane, i 1001 i 1002%.Ne znam...mora da previdjam onda neku pretpostavku...

[kurdi]

Ako ima N tramvaja verovatnoca da ces ugledati sedmicu je 1/N. Sto je manje N, veca je verovatnoca da ces ugledati 7. Minimalno N za koje je moguce ugledati 7 je 7.

ne, jebiga... predomislio sam se, mora da je 7, nema boga.i dalje se principijelno ne slazem za mayday prior, i rezultat u principu ocigledno zavisi od priora, posto je u baysovom zbiru relevantni cinioc proizvod priora i kondicionala... ali pod mojim priorom, sad kada sam konacno uzeo papir u ruke, samo ispada jos verovatnije da je 7

[betty]

eto, doslo vreme za jednu opstu reviziju pretpostavki -_-(ja zamislila kockicu sa sedam stranica...)

[kurdi]

Mnogo me sad zanima. Zasto sam pretpostavila uniformnu raspodelu? Zato sto se pominje da na svakoj liniji ima jednak broj autobusa.E sad, hajde da napustim konacan slucaj. Kada kazes brojevi sa berze, pretpostavljam da mislis na prinose, za koje se pretpostavlja da su normalno rasporedjeni (-besk, +besk) ili se uzima takodje neka zvonasta raspodela sa tezim repovima koja bi dozvolila neke ekstremnije vrednosti..Nebitno to, prinos na akciju ima slucajan hod i cena akcije takodje, ali ne mislim da je ista verovatnoca da ce cena skociti za izmedju 1 i 2%, s jedne strane, i 1001 i 1002%.Ne znam...mora da previdjam onda neku pretpostavku...

upravo tako...ne mislim na prinose nego na same vrednosti akcija, i ne pretpostavlja se nista, osim recimo da su pozitivni brojevi.isto vazi i za fiizcke konstante (ako treba uzmemo apsolutne vrednosti)prosto uzmes novine i ili pslednju stranu neke knjige iz fizike krenes da citas...ovo je inace zaista eksperimentalno otkrio neko u doba kada su u bibliotekama postojale knizice sa logaritamskim trablicama - provalio je da su neke strane bile prljavije od drugih (pravi eksperimentalac :D)daklem kljuc je upravo u ovom boldovanom... i ispostavlja se da 1 najverovatnija prva cifra.stvar je to me da....hmm, mozemo daposmatramo stvar na vise nacina...ajde prvo eksperimentalno recimo...sve slucajne projeve na berzi mozes da generises tako sto krenes od nekih brojeva i ond apustis da fluktuiraju u vremenu....e sad polazne vrednosti su slucajne, u smislu da im je i skala slucajan. znaci nek mzoe da odluci da mu firm aima 100 akcija od 1000 dolara ili hiljadu akcija od 100 dolara.dalje fluktuacije su (ocigledno,a sledi i iz ovoga gore, i to je upravo ono sto si ti napsala) tako da seraspodela fluktacija (ma kakva bila) odnosi na relativne a ne apsolune promene.znaci laks eje akciji od 1000 dolara da skoci za 10 dolara nego onoj od 100 da skoci za 10 dolara.ali i za jednu i za drugu vazi da je podjednako verovatno da skoce za 1% (ma sta to bilo u apsolutnm ciframa)i onda se ispostavlja (mislim ocigledno je valjda) da jednom kada vrednost dodje do necega sto pocinje na 1, recimo 153 ili 17323 dolara, svejedno, ta prva cifra ce se najduze zadrzati, jer je potrebna mnogo veca relativna promena da bi se prva cigra 1 promenila u prvu cifru 2 ili 9, nego da bi se prva cifra 7 promenila u 6 ili 8.i onda kada ti uzmes random snapshot trenutnog stanja na berzi uvek ces najvise naci brojeva koji pocinju na 1.ovaj "temporalni pogled" je nekako cini mi se najlaksi za shvatiti.ali (po principu ergodizma) isto vazi i za fiizcke konstante koje su definisane u raznim kontelkstima, oblastima itd.na kraju je poanta da su zaista slucajn i brojevi o kojim ane znamo ba snista zapravo uniformno rasporedjeni na logaritamskoj a ne nalineranoj skali.znaci ako o broju ne znas BAS nista onda nije ista verovatnoca da je tacno 8 ili tacno 2345632, nego je ista verovatnoca da je reda velicine 10 i reda velicine 10^6. nasa intuicija o uniformnoj linarnoj raspodeli je bazirana na tome da prvo zamislimo neki konacni broj, pa onda kao na karaju uzmeo limit besk., ali to zapravo nema smisla.glede brojeva na berzi i sl. ako uzmes logaritamsku skalu i onda linerano dodelis verovatnoce... znaci verovatnoca prve cifre 1 je je proporcionalna razmaku od 10 do 20 (ili 100 do 200), verovatnoca 2-jke je proporcionalana (manjem) razmaku od 20 do 30 (ili jednako od 200 do 300) itd. dobices tacnu raspodelu prvh cifara zaista slucajnih (u scale free smislu) brojeva.daklem ovo je eks[perimentalno poznata cinjenica.posto mozda neko postuje, nastavak sledi...edit: typo :D Edited January 12, 2008 by kurdi

[kurdi]

znaci ako o broju ne znas BAS nista onda nije ista verovatnoca da je tacno 8 ili tacno 2345632, nego je ista verovatnoca da je reda velicine 10 i reda velicine 10^6.

da nastavim odavde...daklem sa scale free slucajan broj je podjednako verovatno da je negde izmedju 1 i 10 i negde izmeju 100 i 1000 (ovo su jednake duzine na logaritamskoj skali).ovo znaci da je svaki pojedinacan broj izmedju 1 i 10 verovatniji od svakog pjedinacnog broja izmedju 100 i 1000. ovo je ocigledno posto ih je manje, a i lako je izracunati:iz:p[ln(n)] = const (i dalje nije normalizovanoi, kao ni linearni prior, ali ima fiizcku realnost)p[ln(n)] d[ln(n)] = p(n) dnsledip(n) \propto 1/nmedjutim ( ) ovaj neuniformni prior samo pojacava verovatnocu za 7 autobuskih linija.u tvom uniformnom prioru je (nenromalizovana i nenormalizabilna) p(7) suma 1/n za n>6 i naveci clan je 1/7.ovako je p(7) suma 1/n^2 i najveci clan je 1/49, i ima samo jos vecu relativnu tezinu nego u slucaju uniformnog priora.nastavak sledi...

[Al-Khwarizmi]

ahem... uoci da ovde imas gresku u algebri...ali nije bitno, razum bi prevladao i sa 1.5m.

Ups... 1.5m, naravno.

stvar postaje ociglednija/apsurdnija ako kovertu otvoris (i time kolapsiras a priori potpuno nepoznatu skalu) i vidis da u njoj imas 100 dinara. dok je moja koverta i dalje zatvorena.tu ja definitivno imam ili 200 ili 50, sa jednakom verovatnocom, nema vrdanja.

Razumem - očekivana vrednost ovde iznosi 125 dinara (posle otvaranja koverte). Ovde bi smo zadak mogli svesti na sledeće - imamo 100 dinara i neko nam ponudi da bacamo novčić - ako padne pismo, dobićemo 50, glava - dobićemo 200 dinara. Da li bacati novčić ili pobeći sa 100 din?Ali čini mi se da se ovde radi o pogrešnoj upotrebi očekivane vrednosti, jer imamo samo dve moguće diskretne vrednosti za ishod - 50 ili 200, i one su podjednako verovatne. Kada bi pak neko ponudio da se bira da li zadržati 100 din ili zavrteti točak sa uniformno raspoređenim dobicima od 50 do 200, e tu bi već priča bila drugačija - definitivno bi trebalo zavrteti točak.Kako god - fina glavoboljka :)

[kurdi]

Razumem - očekivana vrednost ovde iznosi 125 dinara (posle otvaranja koverte). Ovde bi smo zadak mogli svesti na sledeće - imamo 100 dinara i neko nam ponudi da bacamo novčić - ako padne pismo, dobićemo 50, glava - dobićemo 200 dinara. Da li bacati novčić ili pobeći sa 100 din?Ali čini mi se da se ovde radi o pogrešnoj upotrebi očekivane vrednosti, jer imamo samo dve moguće diskretne vrednosti za ishod - 50 ili 200, i one su podjednako verovatne. Kada bi pak neko ponudio da se bira da li zadržati 100 din ili zavrteti točak sa uniformno raspoređenim dobicima od 50 do 200, e tu bi već priča bila drugačija - definitivno bi trebalo zavrteti točak.

pa nesto ocigledno smrdi.. jr zakljucak da je menjanje besmisleno mora biti tacan...ali sve je jasno definisano, nema nikave prevare, osim sto nesto smrdi u nasem poimanju verovatnoce.mislim raspodela sa dva diskretnaishoda je savrseno jasno definisana.jos je veci apsurd ako ne otvoris koverat.. onda mozemo da s emenjamo u beskonacnost :)jer i ako kazes da hoces da s emenjas, i ja akzme ok, onda te pitam a jesi siguran ili bi ipak nazad onu svoju prvu kovertu.. opet dolazi do istog zaljucka.u svakom trenutku (makar naizgled) moras da podjes od toga da ti opet imas neki nepoznat broj, a ja ili duplo ili pola.ali evo upravo pisem odgovor (kurdijevu hipotezu :D) u kontekstu scale free verovatnoca i berzanskih brojeva... Edited January 12, 2008 by kurdi

[Al-Khwarizmi]

...ništa... nalupetah se, pa shvatih :D

Edited January 12, 2008 by Al-Khwarizmi

[kurdi]

... elem...da povezemo sada sa the grass is always greener paradoksom.daklem ovo za najverovatniju prvu cifru slucajnog broja jeste eksperimentalno potvrdjeno.e sad... ono oko cega se ja i john ne slazemo skroz je... da ja tvrdim da ako prosto kazem (kao sto sam mozda neprecizno vec i rekao) da je u maximum entropy smislu potpunog neznanja "slucajni broj uniformno rasporedjen na logaritamskoj skali" onda to zaista ne sadrzi nikakve dodatne pretpostavke u odnosu na ono sto je (berzanskim brojevima itd) vec eksperimentalno potvrdjeno.on tvrdi da je to intuitivno ali mu ostavlja nelagodu :)al ok...daklem ako prihvatimo da je potpuno slucajan broj sa jednakom verovatnocom (reda velicine) 10, 100 ili 1000...tj da je raspodela uniformna na logaritamskoj skali...onda kada racunamo ocekivanu vrenost treba zapravo racunati ocekivanu vrednost reda velicine, tj ocekivanu vrednost logaritma. na kraju mozemo to da turimo u eksponent da bi dobili broj.znaci menjam <x> za exp[<ln(x)>]gde <...> oznacava uobicajeno usrednjavane po verovatnocama.u ovom formalizmu je "prosek" dva broja prirodno njihova geometrijska a ne aritmeticka sredina.znaci prsek 1 i 100 je 10. iliti generalno kada rcunamo "prosek" brojeva 10^n zapravo trazimo prosek n a ne prosek 10^nako ovako razmisljamo onda razresavamo greener grass paradoks.znaci vec u startu (mada nije bitno) ocekivana vrednost za N i 2N nije 1.5N nego 1.41N.ovo je zapravo nebitno jer sta god da je taj broj, zakljucujemo da je svejedno koju kovertu uzmemo.ono sto je bitno je da na ovaj nacin ni posto odaberemo kovertu nemamo raloga da se menjamo.ja imam N, ti imas sa jednakom verovatnocom 0.5N ili 2N, ali "prosek" ta dva broja i jeste N, kolko ja vec imam.ovo narvno nema nkave prakticne posledice, jer zakljucak mora biti da je menjanje glupo, ali samo nudi nacin razmisljanja koji meni daje peace of mind.kuriozitet - nedavno sam potpuno nezavisno cuo da na nekoj televiziji postoji game show koji je baziran na ovom principu:takmicarima je ponudjeno 26 kutija u kojima N, 2N, 4N, 8N, 16N itd para.(nije zapravo faktor 2 nego neki manji posto je 2^26 mnogo, ali taj je princip)i sada oni uzmu jednu kutiju (sve su zatvorene), a show host ih pita d ali hoce da otvore kutiju i da uzmu sta je u njoj ili da im on da X para.ako kazu ne, onda otvore 5 od preostalih 25 kutija i vide sta je u njima. i dalje ne znaju sta je u njihovoj ali sada i oni i host znaju sta sigurno nije u njihovoj.onda im on ponudi Y para, pa oni ili prihvate ili ako kazu ne otvara se jos 5 kutija.itd.ako se otvore svih 25 onda naravno dobijaju ono sot je u kutiji.e sada naravno takmicari e razmisljau, osim da li mmse svidja sta im se nudi, ali osoba koja je gledala emisiju nije mogla da provali kkao host odlucuje kolko da ponudi pa pitala mene, ali bilo je ocigledno da nije konvencionalan ocekivana vrednost.i ja sam prilicno siguran da je po ovom principu exp[<ln(x)>] (pa onda ponudi malo manje), ali sad nemam nacina da proverim.(ovo naravno nije scale fre jer su dati svi brojevi, tak da i dalje ne potvrdjuje opstu primenljivost moje hipoteze)

[MayDay]

Potpuno mi je jasno o cemu pricas, ali kod autobusa je prica potpuno straightforward. Sve dok je jednak broj autobusa po linijama i svaki je u funkciji i pravilno prolaze pored te tacke onda je raspodela linearno uniformna. Sto se tice akcija, cena akcije se najcesce i modelira kao lognormalno rasporedjena slucajna promenljiva, a o simulacijama cu sutra recimo...zahteva mi malo vise vremena.

[kurdi]

Potpuno mi je jasno o cemu pricas, ali kod autobusa je prica potpuno straightforward. Sve dok je jednak broj autobusa po linijama i svaki je u funkciji i pravilno prolaze pored te tacke onda je raspodela linearno uniformna.

nisam siguran sta si ovim htela da kazes.sve sto si napisala se odnosi na kondicionale za vec odabran broj autobusa N (sto je svakako prosto 1/N), problem je prior za N o kojem ne znamo nista.u 1/N^2 jedno 1/N je isto kao i tvoje (kondicional za 7 pod datim N), ali drugi faktor 1/N (umesto tvog 1) dolazi od priora za N koji je scale free slucajan broj. Edited January 12, 2008 by kurdi

[Anton]

pa nesto ocigledno smrdi.. jr zakljucak da je menjanje besmisleno mora biti tacan...ali sve je jasno definisano, nema nikave prevare, osim sto nesto smrdi u nasem poimanju verovatnoce.mislim raspodela sa dva diskretnaishoda je savrseno jasno definisana.jos je veci apsurd ako ne otvoris koverat.. onda mozemo da s emenjamo u beskonacnost :)jer i ako kazes da hoces da s emenjas, i ja akzme ok, onda te pitam a jesi siguran ili bi ipak nazad onu svoju prvu kovertu.. opet dolazi do istog zaljucka.u svakom trenutku (makar naizgled) moras da podjes od toga da ti opet imas neki nepoznat broj, a ja ili duplo ili pola.ali evo upravo pisem odgovor (kurdijevu hipotezu :D) u kontekstu scale free verovatnoca i berzanskih brojeva...

što se tiče kuverti, a s obzirom da je vjerojatnost da je u kuverti 1N ili 2N ista ( usprkos tkz hipotezi ) pomislio sam da se traži neko trik out of box rješenje. Premalo ako ne i nikako takvih problema na ovom forumu. Nije vajda da se sve svodi na matematiku. A pošto je pitanje kao ozbiljno...Ako se problem gleda samo kroz vjerojatnost onda je posve svejedno da li se kuverta zamjeni ili ne. Ali kada uz vjerojatnost dodaš kvantificirani rizik onda smislenost ili besmislenost mjenjanja kuverte određuje karakteristična procjena rizika koja iz ljudske psihologije izvire.Recimo da netko izabere kuvertu, otvori je i vidi da je u njoj 300 eura. I kaže mu se da može svoju kuvertu zamjeniti sa jednom od preostale dvije u kojima je ili:a) 600 eura ili 0 eurab) 450 ili 150 eurac) 100 eura ili 500 euraAko bi zamjenio svoju kuvertu sa jednom od preostale dvije vjerojatnost da je izabrao kuvertu sa više ili manje novaca je istih 1/2 za sva tri slučaja i isti je postotak novca koji se može zaraditi ili izgubiti u sva tri slučaja. Da li je u sva tri slučaja podjednako besmisleno zamjeniti kuverte s obzirom da je vjerojatnost i postotak zarade ili gubitka ista u sva tri slučaja? Edited January 12, 2008 by Anton