zanimljiva matematika

[Kudravi Gaucos]

Slicno prethodnom zadatku:Izabrana su dva prirodna broja a i b (1<a<b). Osobi M je saopsten proizvod ova dva broja, a osobi S njihov zbir. Nakon toga je usledila konverzacija izmedju M i S:M: Ne znam koji su brojevi a i b.S: Ne znam ni ja, ali sam znao da ni ti neces znati.M: Sada znam koji su!S: Sad znam i ja!Koji su brojevi a i b?

Ja mislim da su u prve dve recenice i M i S govorili istinu, a da su se posle prokenjali zesce.

[kurdi]

:lol:cini mi se da radi za 4 i 13, al mozda se zajebah.

[MayDay]

:lol:cini mi se da radi za 4 i 13, al mozda se zajebah.

Dobro je kurdi.. Nazalost mora da se napise program koji proverava sva cetiri uslova.Dakle, da M ne bi znao koji su brojevi u pitanju proizvod ne sme da bude proizvod dva prosta broja.S, kada cuje zbir, takodje mora da ima vise potencijalnih parova, ali da ni jedan od njih ne bude par prostih brojeva kako bi bio siguran da ni M ne zna koji su brojevi u pitanju. Poslednja dva rezonovanja mi je lakse da dam kroz primer.Primer sa 4 i 13P=52Z=17Rezonovanje 1: M nije mogao znati da li su zamisljeni brojevi 2 i 26 ili 4 i 13. Rezonovanje 2: S je rastavivsi zbir 17 na sve parove, posmatrao proizvod potencijalnih kandidata i video da nijedan nije proizvod 2 prosta broja sto znaci da je bio siguran da M nece znati koji su to brojevi: 2*15=30 - moze i 3*10 3*14=42 - moze i 6*7 4*13=52 - moze i 2*26 5*12=60 - moze i 10*6 6*11=66 - moze i 3*22 7*10=70 - moze i 14*5 8*9=72 - moze i 4*18.Rezonovanje 3: P je proverio sva moguca rastavljanja broja 17 (ona gore ispisana), video da se 17 ne moze predstaviti kao zbir dva prosta broja i, uzevsi u obzir Izjavu 2, zakljucio da su dati brojevi 4 i 13. Par 2 i 26 je iskljucio zato sto bi S tada saznao zbir 28, kojise dobija iz dva prosta broja 11 i 17, pa Izjava 2 ne bi bila moguca (S ne bi mogao sa sigurnoscu da tvrdi da M ne zna koji su brojevi u startu).Rezonovanje 4: Dalje je S saznavsi da M sada zna zamisljene brojeve krenuo darazmislja na sledeci nacin. Uzeo je broj 17 i gledao u kojem od 7mogucih rastavljanja bi M u trecem (prethodnom) koraku mogao saznatizamisljene brojeve. Sada ide razmisljanje osobe S: Da su zamisljeni brojevi 2 i 15, M bi u startu imao proizvod 30. Dakle, dvoumio bi se izmedu 2*15, 3*10, 5*6. Onda je krenuo da razmislja kao M prilikom Izjave 3. 2+15=17, a 17 se ne moze rastaviti kao zbir dva prosta broja - znaci S bi mogao da da Izjavu 2 (Znao sam da neces znati). 3+10=13, sto se moze rastaviti kao zbir dva prosta broja (11 i 2) sto znaci S ne bi mogao dati Izjavu 2. 5+6=11, a 11 se ne moze rastaviti kao zbir dva prosta broja - znaci S bi mogao da da Izjavu 2. Dakle, M ne bi bio siguran da li su zamisljeni brojevi 2 i 15 ili 5 i 6 (posto i kod zbira 17 i kod zbira 11, S moze da da Izjavu 2), pa M ne bi mogao da da izjavu "E sad znam koji su to brojevi". Da su zamisljeni 3 i 14, M bi imao proizvod 42. Dvoumio bi se izmedu 2 i 21, 3 i 14, 6 i 7. 2+21=23, 23 se ne moze predstaviti kao zbir dva prosta broja , znaci moguca je Izjava 2. 3+14=17, 17 ne moze predstaviti kao zbir dva prosta, znaci moguca je Izjava 2. Dakle, M opet ne bi bio siguran da li su trazeni brojevi 2 i 21 ili 3 i 14, pa ne bi bilo moguce da M kaze "E sad znam koji su to brojevi". Da su zamisljeni 5 i 12, M bi imao proizvod 60 (2*30,3*20,4*15, 5*12,6*10). 3+20=23 i 5+12=17 se ne mogu predstaviti kao zbir dva prosta pa M ne bi ni tu saznao trazene brojeve. Da su zamisljeni 6 i 11, proizvod 66 (2*33,3*22,6*11). 2+33=35 i 6+11=17 ne mogu kao zbir dva prosta pa bi M i dalje imao vise kandidata, tj. ne bi znao prave brojeve. Zamisljeni su 7 i 10, proizvod 70 (2*35,7*10). 2+35=37 i 7+10=17 se ne mogu rastaviti kao zbir dva prosta, pa M ni tu ne bi znao prave brojeve. Zamisljeni 8 i 9, proizvod 72 (2*36,3*24,4*18,6*12,8*9). 3+24=27, 8+9=17 se ne mogu predstaviti kao zbir dva prosta, pa M ni tu ne bi znao prave brojeve. Zamisljeni 4 i 13 (tacni brojevi), proizvod 52 (2*26,4*13). 2+26=28 moze kao zbir dva prosta, 4+13=17, ne moze kao zbir dva prosta pa bi ovde M imao samo jedan par mogucih kandidata i tako je i zakljucio koji su brojevi (sve to rezonuje S), znaci ovde i S zakljucuje da su zamisljeni 4 i 13.Jos neki od parova:4 6116 7316 11164 7332 13116 1634 18164 127...Bezveze je sto ne moze na foru i na prste da se resava, ali mora se priznati da je postavka fensi i jos plus izaziva reakcije kao u dva posta iznad :)...

[kurdi]

ja resio na prste -_-mada sam naravno trazio samo najmanje brojeve koji ispunjavaju, imao srece, a i nisam nabo iz prvog pokusaja. prvo mi se ucinilo da radi 2 i 9, ali puca na cetvrtom uslovu.na prste je zapravo lakse gledati prvo zbir (ne racunajuci ovo ocigledno da nisu dva prosta, niti prost i njegov kvadrat) koji ne moze da se napise kao zbir dva prosta nego prvo kombinovati proizviode prostih. mada nisam ovo odmah shvatio, nego krenuo od cinioca...3 i 4 lako puca (7 = 5+2), 2 i 9 nije bas tolko ocigledno, ali puca. pa onda pomislis 4 i 5... al tu ti se vec smuci pesacki pristup...i onda vidim bezveze da dalje kombinujem cinioce jer ima suvise mogucnosti, nego krenes od 11 nadalje da vidis sta ne moze da se napise kao zbir dva prosta (osnovni razlog za ovo je zapravo sto kompleksnost proveravanja mnogo brze raste sa zbirom nego sa proizvodom), i 17 je zapravo prva mogucnost. a za 17 je lako proveriti da samo u jednom slucaju cetvri uslov prezivljava.zahvalan sam sto si ti ispisao objasnjenje, psot mene mrzelo :)mnogo je duze ispistai recima nego proveriti za sebe jednom kad razumes princip.

[MayDay]

zahvalan sam sto si ti ispisao objasnjenje, psot mene mrzelo :)mnogo je duze ispistai recima nego proveriti za sebe jednom kad razumes princip.

Nema na cemu...samo mi nije jasno zbog cega svi misle da sam musko..edit: hocu reci, tako je bilo i na onom forumu na pocetku Edited January 10, 2008 by MayDay

[kurdi]

pa zato sto znas matematiku -_-

[mary mary]

kurdi, stidi se <_<

[kurdi]

stidim se.nego neke ozbiljnje stvari... poslednjih dana sam se druzio sa jednim mnogo pametnim covekom, pa se nakupilo nekih diskusijica... u rezervi cuvam jedan zajeban zadatak posto jos ne mogu sam da ga resim i izludjuje me, ali za pocetak:1. jedna poznata posalica, koja moze biti zanimljiva i onima koji ne znaju matematiku... onako... na filozofsko-zivotnom nivou :Dimamo dve (zatvorene) koverte, u jednoj je N a u drugoj 2N dinara, ali ne znamo koliko je N.ja vam ponudim da odaberete jednu kovertu. ocigledno je svejedno posto nista ne znate, i vi naravno odaberete nasumice, jel.e sad posto ste odabrali jednu kovertu, ja uzmem sebi ovu preostalu drugu.i onda vas pitam da li hocete da se menjate.sta bi ste uradili?ima li to smisla....2. jedan zadatak za koji ne znamo resenje, ali bih ja na osecaj bio spreman da se kladim...nalazite se u nepoznatom vam gradu u kojem znate da postoje sve autobuske linije obelezene brojevima od 1 do N (sa istim brojem autobusa na svakoj liniji), ali ne znate koliko je N.setate se ulicom i prvi autobus koji ugledate je 7-ica.na osnovu samo ovih informacija, sta je najverovatniji broj autobuskih linija u tom gradu?

[Kudravi Gaucos]

imamo dve (zatvorene) koverte, u jednoj je N a u drugoj 2N dinara, ali ne znamo koliko je N.ja vam ponudim da odaberete jednu kovertu. ocigledno je svejedno posto nista ne znate, i vi naravno odaberete nasumice, jel.e sad posto ste odabrali jednu kovertu, ja uzmem sebi ovu preostalu drugu.i onda vas pitam da li hocete da se menjate.sta bi ste uradili?

Naravno da bih se menjao. Najvece sanse su da sam ga popusio. Nema to veze s matematikom. Ostaje problem sto bih samim cinom menjanja nekako uspeo da postignem da su vece pare vec bile u mojim rukama. Jedina sigurnija stvar od mog baksuzluka je moja glupost.

nalazite se u nepoznatom vam gradu u kojem znate da postoje sve autobuske linije obelezene brojevima od 1 do N (sa istim brojem autobusa na svakoj liniji), ali ne znate koliko je N.setate se ulicom i prvi autobus koji ugledate je 7-ica.na osnovu samo ovih informacija, sta je najverovatniji broj autobuskih linija u tom gradu?

Najverovatnije ih ima 14? U stvari, najverovatnije je da bilo koja pretpostavka izasla iz ovoliko podataka (prvi autobus koji si video) ne moze biti tacna. Najsigurnije ulozen novac bi bio da neko drugi radi takvo pogadjanje, a ti uletis pare na to da je pogresio.

[Delija67]

Najverovatnije ih ima 7

[betty]

Najverovatnije ih ima 7

to bih i ja rekla, al ako kurdi ne zna resenje i ide na osecaj, onda valjda nesto propustamo...

[Al-Khwarizmi]

imamo dve (zatvorene) koverte, u jednoj je N a u drugoj 2N dinara, ali ne znamo koliko je N.ja vam ponudim da odaberete jednu kovertu. ocigledno je svejedno posto nista ne znate, i vi naravno odaberete nasumice, jel.e sad posto ste odabrali jednu kovertu, ja uzmem sebi ovu preostalu drugu.i onda vas pitam da li hocete da se menjate.sta bi ste uradili?ima li to smisla....

Verovatnoća da je u prvo izabranoj koverti veća suma je 1/2 kako okreneš, tako da promena nema nikakvog uticaja. Deluje prilično očigledno - pokušavam da provalim u čemu je trik, ali bezuspešno. Da nisi nešto izostavio u postavci?

2. jedan zadatak za koji ne znamo resenje, ali bih ja na osecaj bio spreman da se kladim...nalazite se u nepoznatom vam gradu u kojem znate da postoje sve autobuske linije obelezene brojevima od 1 do N (sa istim brojem autobusa na svakoj liniji), ali ne znate koliko je N.setate se ulicom i prvi autobus koji ugledate je 7-ica.na osnovu samo ovih informacija, sta je najverovatniji broj autobuskih linija u tom gradu?

Vidim iz prethodnih odgovora da su ovo boldovano ljudi različito tumačili. Jesi li hteo da kažeš da i na liniji 1 i na liniji N ima po K autobusa (tako sam ja shvatio), ili da na liniji 1 saobraća 1, a na liniji N saobraća N autobusa (što mi ne zvuči logično, jer bi onda 7 bio očigledan odgovor)?Uz pretpostavku da si mislio na ono prvo, Ako zanemarimo sve druge faktore na osnovu kojih bi smo mogli da rezonujemo (veličina grada i tome slično), t.j. ako nemamo nikakvu predstavu o tome koja je granica za N, jedino što znamo jeste da u gradu ima najmanje 7 linija, a podjednako je verovatno da ih ima i 8, 9 itd... Ili nešto ozbiljno previđam?

[MayDay]

Intuitivno, stvarno nema razloga da verovatnoca da ima 7 linija bude veca od verovatnoce da ima 8 ili 500k...Medjutim, nisam do kraja sigurna da li ovako moze, ali da probam da krenem od Bayesian apdejtinga uz pretpostavku da je je najveci broj tramvaja m. Dogadjaji: A: Pojavila se 7icaB: Postoji n tramvajaUslovna verovatnoca da se postoji n tramvaja, pod uslovom da se pojavila 7ica je ono sto maksimiziramo birajuci n:P(BIA)=(P(A|B)*P(B ))/P(A )P(A|B)=1/n P( B)=1/mP( A)= P(A|n=1)*P(n=1)+P(A|n=2)*P(n=2)+P(A|n=3)*P(n=3)+...+P(A|n=7)*P(n=7)+P(A|n=8)*P(n=8)+...P(A|n=m)*P(n=m).Ako ima 1, 2,...,6 tramvaja, onda se 7 ne moze pojaviti. Mora ih biti najmanje 7. Zbog toga P(A|n=1)=...=P(A|n=6)=0.KonacnoP(BIA)=[P(A|B)*1/m]/[1/m*(1/7+1/8+1/9+....+1/m)]=P(A|B)/(1/7+1/8+..1/m)Za n=7: P(A|B)=1/7 -> P(B|A)=1/7/(1/7+...+1/m), n=8: P(A|B)=1/8 -> P(B|A)=1/8/(1/7+...+1/m), ... n=m: P(A|B)=1/m -> P(B|A)=1/m/(1/7+...+1/m).Ispostavlja se da ce ova verovatnoca biti najveca za n=7, tj. ako se pojavi 7ica najverovatnije je da postoji 7 tramvaja.Isti zakljucak se dobija i ako je m beskonacno, tj. ako ne postoji ogranicenje koliko tramvajskih linija grad moze da ima.

[Anton]

imamo dve (zatvorene) koverte, u jednoj je N a u drugoj 2N dinara, ali ne znamo koliko je N.ja vam ponudim da odaberete jednu kovertu. ocigledno je svejedno posto nista ne znate, i vi naravno odaberete nasumice, jel.e sad posto ste odabrali jednu kovertu, ja uzmem sebi ovu preostalu drugu.i onda vas pitam da li hocete da se menjate.sta bi ste uradili?

Pristao bi na razmjenu kuverti ali bi prije razmjene kuverti iz moje izvadio novce.

[Kudravi Gaucos]

Zasto ste dobili rezultat 7???? Kako objasnjavate da je najverovatnije da prvo ugledate tramvaj sa najvecim brojem? Zasto ne najmanji? Meni je ovako intuitivno bila ideja da ces verovatno ugledati neku srednju vrednost, mada je sansa jednaka za bilo koji broj.