zanimljiva matematika

[Anton]

Ako je šahovska ploča kvadrat čije su stranice parne , 4* 4 ili 56 * 56 itd, tada u samom centru kvadrata postoje četri polja. Ako se povuče prvi potez na način da se kamenčić postavi u gornji ljevi kut tog kvadrata tada ostaje "okrugli stol" i sve što onaj koji je zauzeo centralna četri polja treba za pobjedu je odabirati polja simetrična poljma koje bi odabirao njegov protivnik. Stoga u ovom specijalnom slučaju pobjeđuje onaj koji zauzme centralna četri polja, a to je onaj koji prvi vuče potez.U slučaju kada je šahovska ploča kvadrat neparnih stranica ili pravokutnik sa neparnim brojem polja tada prvi potez ili donji ljevi kut ili donji desni kut ili gornji desni kut tako da ostanje parni broj slobodnih polja na ploči. Ako je sljedeći potez protivnika polje koje eliminira 4 polja jednim potezom onda odgovoriti potezom koji također eliminira 4 polja jednim potezom, a ako je sljedeći potez protivnika potez koji eliminira jedno polje onda odgovoriti također sa potezom koji eliminira jedno polje. Ako protivnik postavi kamenčić na jedno od preostala dva kuta na koje se može postaviti kamenčić a da taj potez pokriva samo to jedno polje onda odgovoriti sa potezom na preostali zadnji kut. Preduvjet za pobjedu je da na kraju ne ostanu četri polja koje protivnik može eliminirati jednim potezom na gornje ljevo polje.Ako je pravokutnik sa parnim brojem polja tada prvi potez na polje koje zauzima četri polja tako da opet ostane parni broj ploči i dalje svakim sljedećim potezom parirati protivniku kao što je to navedeno iznad i uz isti preduvjet za pobjedu.Nebi se začudio ako sam nešto previdio ali prilično sam siguran da bi taktika sa kvadratom parnih stranica funkcionirala.Mislim da se problem generalno možda može svesti na ovo. Ako je broj polja ( u stvari broj svih mogućim kombinacija poteza, ali ko bi to izračunao ) neparan tada prvi potez treba pokriti jedno polje a ako je paran onda prvi potez treba pokriti četri polja.

[Anton]

2.imamo "sahovsku" tablu dimenzija MxN (M, N > 1) na koju dva igraca naizmenicno stavljaju kamencice. pravilo je da kada jedan stavi kamencic na neko polje, kamencici se vise ne mogu stavljati u pravougaonik kojem je to polje gornji levi ugao.gubi onaj koji (je primoran da) stavi kamencic u gornji levi ugao, polje (1,1).

U ovom slučaju obrnuta taktika. Ako je ploča sa parnim brojem polja onda prvi potez treba pokriti jedno polje, a ako je ploča neparnim brojem polja onda prvi potez treba pokriti četri polja.A da sam siguran i nisam.

[ockham]

ok, ali ne slazem se, mada uvidjam sta kurdi trazi.mislim da ovde dvostruka negacija radi u nasu korist kada je u pitanju zero-sum game bez mogucnosti neresenog ishoda. ako neko nema pobednicku strategiju, zbog pravila igre, on nema strategiju kojom moze da pobedi, odnosno ne moze da izbegne poraz, sto zbog pravila igre znaci da prvi igrac ima strategiju kojom uvek moze izbeci poraz, a sto zbog pravila igre znaci da mora pobediti. ne znam da l moze konstruktivnije, al da pokusam ovako.znamo da u slucaju mxm, prvi ima pobednicku strategiju. u slucaju 3x2, a i opstije mx2, prvi uvek ima pobedu. ovo za mx2 nismo do sada dokazali, ali je to lako. mislim da je jednostavano.ako posmatramo mxm, prvi uvek ima pobedu jer mu je dovoljno da odigra potez (m-1)x(m-1). kada neki igrac ostane sa simetricnim gornjim i levim redom, nuzno gubi, sto ce reci onaj ko ima samo gornji i levi red s nejednakim brojem polja, taj ima pobednicku strategiju.dakle, kad se u slucaju mxn oduzme taj red, ostaje nam (m-1)x(n-1). itd, do mx2.

[Anton]

Jutarnji sažetak. Igra bi bila deterministička ako "bjeli" može svesti igru na situaciju da nakon svakog njegovog posljednjeg poteza na ploči uvijek ostane barem jedna neparna kombinacija poteza između svih mogućih kombinacija , a kao odgovor na sve moguće poteze crnog. Stoga odgovor na pitanje da li je nakon svakog poteza bjelog uvijek moguće svesti igru na neparan broj poteza daje i odgovor na pitanje da li je igra deterministička. Također je pitanje da li neparan broj polja na ploči uvijek korelira sa neparnim brojem poteza.Na primjer, ako bi pri kraju igre imali situaciju da je na ploči ostalo 9 polja, polje 1,1 i dva skupa od po četri polja, da li bjeli uvijek može svesti ovu situaciju na neparan broj poteza neovisno o tome što crni koji je na potezu odigra?Na brzinu sam pogledao i čini mi se da bjeli uvijek dobija u ovoj situaciji.Da li možete pronaći "završnicu" u kojoj će na ploči ostati neparan broj polja a koju završnicu će dobiti crni koji je na potezu?Edit--Još sam se malo zabavljao sa ovim i moguće je postaviti završnicu sa devet slobodnih polja a da završnicu dobija crni koji je na potezu, iz čega proizlazi da taktika neparnog broja polja nije univerzalni recept za pobjedu bjelog. Sigh. :)

Edited November 19, 2007 by Anton

[kurdi]

Ako je šahovska ploča kvadrat čije su stranice parne , 4* 4 ili 56 * 56 itd, tada u samom centru kvadrata postoje četri polja. Ako se povuče prvi potez na način da se kamenčić postavi u gornji ljevi kut tog kvadrata tada ostaje "okrugli stol" i sve što onaj koji je zauzeo centralna četri polja treba za pobjedu je odabirati polja simetrična poljma koje bi odabirao njegov protivnik. Stoga u ovom specijalnom slučaju pobjeđuje onaj koji zauzme centralna četri polja, a to je onaj koji prvi vuče potez....

nisam bas siguran da si ispravno shvatio pravila igre. ne moze nikako da ostane okrugli sto. ako se stavi na to (ili bilo koje) polje, iz igre ispada sve sto je istoveremneo desno (ili jednako) i dole (ili jednako) od tog polja.

[kurdi]

ovo je verovatno prilicno bezveze za internet, mada nije lose za brzinsko testiranje:da li postoje dva cela broja zbir cijih kvadrata je 10003?(ako postoje, koji su?)

[kurdi]

ovo navodno i dalje zbunjuje, a i pitanje je od drustvenog znacaja posto ima veze sa globalnim zagrevanjem:u casu su ubacene kockice leda i onda je napunjena vodom do samog vrha.sta biva kad led krene da se topi?

[Anton]

nisam bas siguran da si ispravno shvatio pravila igre. ne moze nikako da ostane okrugli sto. ako se stavi na to (ili bilo koje) polje, iz igre ispada sve sto je istoveremneo desno (ili jednako) i dole (ili jednako) od tog polja.

U pravu si. Smješao sam pravila igre 1 i igre 2. Zato sam te i upitao za pojašnjenje preko PM-a.Kad sam se već opet javio na ovu temu. Neda mi se analizirati određene šahovske površine tako da se prepoznaju sve moguće kombinacije poteza u okviru pravila koje si naveo, a što bi bilo potrebno izanalizirati da bi se za određene šahovske površine , bilo kvadrate ili pravokutnike, sa apsolutnom sigurnošću moglo utvrditi da li dobija bjeli ili crni . Ali za razliku od šaha, čiji je broj mogućih različitih poziciija tokom šahovske partije vjerojatno veći nego li ukupni broj atoma u svemiru, ova "tvoja" igra bi se mogla izanalizirati pod uvjetom da broj polja nije beskonačan i mogao bi se napisati program koji bi dao odgovor na pitanje tko dobija s obzirom na oblik određene ploče i broj polja određene ploče. Edited November 23, 2007 by Anton

[Anton]

ovo navodno i dalje zbunjuje, a i pitanje je od drustvenog znacaja posto ima veze sa globalnim zagrevanjem:u casu su ubacene kockice leda i onda je napunjena vodom do samog vrha.sta biva kad led krene da se topi?

Pingvini se sele na jug?Nego ovo pitanje me je inspiriralo na ovu varijantu jednog već poznatog zadačića.Na madracu u bazenu pluta navijač hrvatske nogometne reprezentacije koji sa malčice debilim smješkom od uha do uha još uvijek nanovo proživljava nedavno isprašivanje skupine nespretnih i zbunjenih ljudi , poznatih široj javnosti kao nogometna reprezentacije Engleske. Na madracu pokraj njega je čaša sa rakijetinom čije autorsko pravo se pripisuje škotima, a u čaši se uz tu terapeutsku tekućinu nalazi i par kockica leda.Ako bi navijač ispio rakiju a kockice leda prosuo u bazen da li bi razina vode u bazenu porasla ili bi se smanjila u tom trenutku?

[Kudravi Gaucos]

ovo je verovatno prilicno bezveze za internet, mada nije lose za brzinsko testiranje:da li postoje dva cela broja zbir cijih kvadrata je 10003?(ako postoje, koji su?)

Ne postoje. Ako nisam negde pogresio, zbir svih celih brojeva podrazumeva pozitivne brojeve (jer kad ih kvadriras postane svejedno). Kod kojim sam proverio:

	int prvi=0, drugi = 0, rezultat = 0;	for(int i=0; i<110; i++){		for(int j=0; j<110; j++){			rezultat = i*i + j*j;			if(rezultat == 10003){				prvi = i;				drugi = j;				cout<<"POSTOJI!!!";				break;			}		}	}	if(prvi == 0 && drugi == 0){ cout<<"\nNE POSTOJI!!!"; }	else{		cout<<"\nPRVI:\t"<<prvi;		cout<<"\nDRUGI:\t"<<drugi;	}

[kurdi]

odgovor je tacan, ali se trazilo elegantnije resenje, bez compa i eksplicitne provere... mislim postavljen je ljudima koji nisu tu imali comp nego samo papir i olovku. (zadatak je sa prijemnog intervjua za computer science na imperial collegu)a resenje je sledece:pretpostavimo da postoje.1. ocigledno mora biti jedan paran i jedan neparan, posto je kvadrat parnog paran a kvadrat neparnog neparan.2. kvadrat parnog broja je ocigledno deljiv i sa 4.3. neparan broj pri deljenju sa 4 daje ostatak +1 ili -1, tako da kvadrat neparnog broja uvek dajes ostatak +1.prema tome ne moze zbir kvadrata dva broja nikako pri deljenju sa 4 da dejes ostatak -1 (sto je slucaj sa 10003).

[Kudravi Gaucos]

odgovor je tacan, ali se trazilo elegantnije resenje, bez compa i eksplicitne provere... mislim postavljen je ljudima koji nisu tu imali comp nego samo papir i olovku. (zadatak je sa prijemnog intervjua za computer science na imperial collegu)

brute force je brute force :)

[kurdi]

bez sile nema nasilja © -_-

[Kudravi Gaucos]

Sila Boga ne moli - Bog silu ne voli. :)Inace na mom fiktivnom fakultetu za computer science bi ovakvo resenje bilo itekako pozeljno. Svi ti ljudi ce resavati probleme bas na ovaj nacin u praksi. Znam da se prilikom prijema ide na opste obrazovanje kandidata i biranje onih kojima je matematika u malom prstu. To svakako daje kandidate od kojih ce se najlakse napraviti dobar materijal. Problem je sto dokazivanje teorema i slicne stvari nikada nikome nece trebati u real life. Ako te zanima - izguglas i prihvatis da je nesto tako, ako je vec neko dokazao da je tako. Ovakav stav cini jadnog naucnika, ali odlicnog programera :)Jebiga, ipak smo mi fizikalci, ima ko da razmislja za nas.

[MayDay]

Slicno prethodnom zadatku:Izabrana su dva prirodna broja a i b (1<a<b). Osobi M je saopsten proizvod ova dva broja, a osobi S njihov zbir. Nakon toga je usledila konverzacija izmedju M i S:M: Ne znam koji su brojevi a i b.S: Ne znam ni ja, ali sam znao da ni ti neces znati.M: Sada znam koji su!S: Sad znam i ja!Koji su brojevi a i b?