zanimljiva matematika

[Borisha]

Ovo sa ekvatorom je najbolja stvar koju sam cuo iz matematike i nema veze sa fizikom. Zove se Borsuk-Ulam teorema. vazi i jos jace tvrdjenje: na zemlji imaju dve dijametralno suprotne tacke u kojima je isti pritisak i temperatura. Isto vazi i za bilo koju n-dimenzionu sferu.A jos je zanimljivije kako loptu podeliti na deset delova od kojih se mogu spojiti dve cele lopte (bez ikakvih supljina ili nesto slicno) istih dimenzija kao ona prethodna. To je dosta ozbiljnije od Borsuk-Ulam i prvo je pokazano za deset delova. Najmanje moguce delova za koje se to moze izvesti je pet. Ali je konstrukcija toga jako komplikovana.

[kurdi]

da, odlicno je ovo za temepraturu i pritisak, nisam znao da ima ime.

[Borisha]

da, odlicno je ovo za temepraturu i pritisak, nisam znao da ima ime.

Nema ime to za temperaturu, nego se tako zove i vazi za bilo koju neprekidnu funkciju na sferi. ako je funkcija jedne promenljive na sferi dimenzije jedan, ako je funkcija dve promenljive, onda sferi dimenzije dva itd... Cisto da ne bude zabune.

[kurdi]

Nema ime to za temperaturu, nego se tako zove i vazi za bilo koju neprekidnu funkciju na sferi. ako je funkcija jedne promenljive na sferi dimenzije jedan, ako je funkcija dve promenljive, onda sferi dimenzije dva itd... Cisto da ne bude zabune.

ma shvatio.ali za sada neka pitanje ostane sa ekvatorom (mada zali boze neiskoristene dimenzije) i temperaturom, pa ko provali princip posle lako moze da vidi kako ide za vise dimenzije.

[Borisha]

Sto se tice onoga za ekvator. Naravno da je temperatura neprekidna funkcija. Obelezimo je bilo kako, recimo T, i ako je x tacka ne ekvatoru neka njoj suprotna bude -x. Tada T slika kruznicu na realnu pravu. I onda napravimo novu funkciju f(x)=(T(x)-T(-x))/|T(x)-T(-x)|. Vrednosti ove funkcije su samo -1 i 1. Ona je i neprekidna.Sad nam treba malo matematike: Kruznica je povezan skup a {-1,1} nije. Svaka neprekidna funkcija slika povezan skup na povezan. pretpostavimo sada da ne postoji tacka takva da je T(x)=T(-x). I potpuno je svejedno da li je u toj tacki f(x)=1 ili f(x)=-1 jer bi onda bilo respektivno f(-x)=-1 ili f(-x)=1 sto je nemoguce jer bi tada f slikala povezan na nepovezan skup.Dakle mora postojati tacka u kojoj je T(x)=T(-x)

[betty]

a ja postavljala jadne muhamede da hodaju oko ekvatora...

[Borisha]

OK, pretpostavimo da je temperatura neprekidna funkcija (ne bih se bas kladio, ali neka bude za potrebe misaonog eksperimenta).Kako to da je f(x) neprekidna funkcija?Vise me interesuje ono pravljenje dve lopte od jedne, a pod strozim uslovima i citave cetiri :-) al ostavljam kurdiju da razmisli o resenju.

Temperatura jeste neprekidna funkcija jer ako se ti malo pomeris i temperatura ce se malo pomeriti, ili nece uopste. Sto je definicija neprekidnosti. A f je neprekidna kao kompozicija neprekidnih, to je osnovno o funkcijama. Naravno, nije neprekidna ako je negde T(x)=T(-x), ali mi pretpostavljamo da to nije tacno, ako je to tacno, onda nemamo sta ni da dokazujemo.

[kurdi]

a ja postavljala jadne muhamede da hodaju oko ekvatora...

ma moze sa muhamedima, ne mora da zvuci tako formalno.sustina je sledeca:ok, to da je temperatura neprekidna funkcija moramo da prihvatimo, ali valjda je ocigledno. znaci da s eiz tacke u infinitesmalno blizu drugu tacku kontinulano menja, bez skokova.imas dva muhameda, nazovimo ih mujo i haso.razlika tempoerature kod muje i kod hase isto mora biti kontinualna.znaci ako jedan stoji a rugi se pomeri, njihova razlika se kontinulano menja.pa isto onda vazi i ako se obijica samo malo pomere.i neka su oni na suprotnim tackama na ekvatoru, nije bitno na kom precniku.i neka je inicijalno muji hladnije nego hasi.onda oni krenu da s ekrecu obojica u smeru kazaljke na satu, tako da su uvek dijametralano suprotni jedan drugom.kada obijica obidju pola kruga, tj. kad muja stogne gde je hasa bio i obrnuto, e u tom trenutku je ocigledno sada hasi hladnije nego muji.e posto kontinulano idemo od toga da je hasi toplije nego muji do toga da mu je hladnije nego muji, u jednom trenutku mora da mu bude isto.

[kurdi]

(jel da brisem svoje postove koji nemaju smisla posle antonovog editovanja, kao i njegove prazne?)edit: pobrisao, jebes demokratiju. daklem ko nije pratio, anton je izeditovao svoje postove u tackice pa su moji postali besmisleni, pa sam i njih pobrisao.a da sumiramo gde smo stali....jel ekvator jasan sa mujom i hasom?za vise dimenzije (da kazemo dve) je teze zamisliti al je slicno, opet bazirano na kntinualnosti.umesto za ekvator resis za krug koji je malo tiltovan oko horizontalne ose od ekvatorijalne ravni. itd. i dobijes krivu koja je lokus resenja (samo za temperaturu) za svaki od tih krugova. i onda je zbog kontinualnosti i ta kriva kontinualna. i ona nije krug, moze a krivuda kkao god po sferi, ali sadrzi samo tacke u dijametralno suprotnim parovima.pa onda na toj krivi (gde dve dijamteralno suprotne tacke uvek imaju istu temperaturu) resis sa mujom i hasom za pritisak.napomena: kad prvo resavas za T na krugu moze biti i vise od jednog resenja, ali sigurno makar jedno. i svaka od tih tacaka se razvlaci u kontinulanu krivu kada krug krenemo da rotiramo.dalje je zanimljivo razmisljati o tome da li se te krive mogu seci i sta to znaci itd. ono sa kockicama i 6 i 8 stoji i dalje (pogotovu sada)ja ovo sa loptama mislim da uopste nisam razumeo. mislim ocigledno nisam, jer meni deluje da tu kanda postoji problem sa ukupnom povrsinom.

Edited October 14, 2007 by kurdi

[Borisha]

To sa loptama nema problema, i stavio sam cisto kao zanimljivost. I sigurno je tacno, al ja pojma nemam kako. Ako nekoga stvarno zanima mogu da se potrudim da nadjem, ali to je stvarno ozbiljna matematika.

[kurdi]

ma ok sto je zajebano, al jel mozes da mi objasnis sta sam ja osnovno propustio u postavci?mislim imas jednu loptu povrsine 4\pi r^2 i onda je rabucas i napravis dve lopte ukupne povrsine 8 \pi r^2, i nema rupa?ocigledno nesto nisam shvatio.

[Borisha]

Ma kakva povrsina. Vazi jos i jace, za punu loptu, zapreminski. Nista nisi propustio, i to je moguce.

[kurdi]

e jebes oko to bih voleo da vidim. mora tu da ima neki rastegljiv pojam. aj trazi.

[Borisha]

Evo link. http://www.matf.bg.ac.yu/~aljosha/Prvo ides na courses pa skines knjigu Teorija skupova pa ides na Banach-Tarski paradoks. Kod mene je strana 25, al mozda je malo drugacije ovde. Sve ti je lepo objasnjeno. Otprilike, potrebno je samo prihvatiti aksiomu izbora, koja glasi: iz svakog nepraznog skupa se moze izdvojiti neki element. Ovo, slozices se i nije bas rastegljiv pojam :))

[kurdi]

ok, hvala, pogledacu, a vidim sada ima i na wiki, mozda je to lakse. al bar se zove paradoks :). ovo borsuk-ulam je skroz normalno.edit: nebitne gluposti.

Edited October 14, 2007 by kurdi